超幾何分佈

超幾何（粵拼：ciu1 gei2 ho4 ）

概率質量函數
累積分佈函數
變數	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
撐集	$\scriptstyle {k\,\in \,\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\}}\,$
PMF	${\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$
CDF	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ 當中 $\,_{p}F_{q}$ 係廣義超幾何函數。
平均數	$n{K \over N}$
眾數	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
方差	$n{K \over N}{N-K \over N}{N-n \over N-1}$
偏度	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
峰度	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\big [}(N-1)N^{2}{\big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\big )}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\big ]}$
MGF	${\frac {{\binom {N-K}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,N-K-n+1\,;\,e^{t})}{\binom {N}{n}}}$
CF	${\frac {{\binom {N-K}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,N-K-n+1\,;\,e^{it})}{\binom {N}{n}}}$

喺概率論同統計學，超幾何分佈係離散概率分佈一種，用嚟描述以下嘅現象：想像而家由某個總體嗰度做抽樣，總體入便有 N 件物件而 N 係有限數值，抽咗出嚟唔放返入總體；同時計數嘅人指定某某特性，而總體入便有 K 件物件有呢種特性；超幾何分佈模擬嘅就係以下嘅機率：

由總體抽出咗 n 件物件之後，抽中 k 件有指定嗰種特性嘅物件。

舉具體例子，可以想像抽啤牌。假想依家有一副標準 52 張嘅啤牌，假設副牌洗好咗，所以咭牌次序係隨機嘅，而計數嘅人想知，由呢副牌入便抽 5 張出嚟，即係 n = 5，有幾大機會其中兩張係紅心，即係指定嘅特性係紅心而 k = 2 咁多。假設抽咗出嚟嘅牌唔會放返入去，呢個情況就可以用超幾何分佈嚟計算。事實上，超幾何分佈成日會用嚟分析咭牌遊戲嘅數學特性。

超幾何分佈同二項分佈有啲似，但二項分佈假設係抽咗樣之後係會放返入去嘅所以一次抽樣抽到乜嘅機率，唔會受上次抽到乜影響。相比之下，超幾何分佈模擬嘅係抽咗出嚟唔會放返入去，所以今次抽到紅心，下次再抽到紅心嘅機率就會變咗。

定義

睇埋：概率分佈

超幾何分佈可以用以下嘅條件描述：

• 每次抽樣結果，都可以分成兩個互斥嘅類別，例如如合格或唔合格，或者就業或失業。
• 每次抽樣後，因為唔放返入有限嘅總體，所以成功，即係抽到想要嗰個類別，嘅機率會改變。
• 如果某某隨機變數 X 遵循超幾何分佈，佢嘅概率質量函數（PMF）可以寫做以下噉：

$p_{X}(k)=\Pr(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$

當中：

• $N$ 係總體入面物件嘅總數，
• $K$ 係總體入面擁有指定特性嘅物件數量，
• $n$ 係抽樣樣本（即係每次試驗抽幾多件），
• $k$ 係實際抽到擁有指定特性嘅物件數量，
• ${\binom {a}{b}}$ 係二項式係數。

呢個概率質量函數喺以下範圍內會出正嘅數值：

$\max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n)$

一個隨機變量如果遵循參數為 $N$、$K$ 同 $n$ 嘅超幾何分佈，可以寫做：

$X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)$

應用

睇埋：紙牌遊戲

超幾何分佈可以用嚟分析多種紙牌遊戲嘅數學特性。

想像而家玩集換式咭牌遊戲，玩家喺度設計自己副咭組（deck），佢好可能會想知道到咗第 n 個回合，有幾大機會抽到一張有 XX 特性嘅咭。喺呢個時候，就可能會用超幾何分佈嚟計數。舉例，設玩家用緊一副有 60 張咭嘅咭組，入便有 8 張係目標咭牌，而每個回合，玩家都會抽一張咭。噉玩家就可以問：喺開局嗰陣嘅 7 張手牌，加埋喺第 n 回合前抽到嘅咭，總共 7+n-1 咁多張，抽中最少一張目標咭牌嘅機率係幾多？而因為啲咭抽咗之後通常都唔會放返入去，所以呢種情況正好符合晒超幾何分佈嘅條件。舉個數值例子：如果想計喺第 3 回合開始之前，到時已經抽咗 7+2=9 張咭，抽到最少一張目標咭牌嘅機率，可以用超幾何分佈去搵答案；首先，計完全抽唔到目標咭牌嘅機率：

總體有 N=60 張咭。

成功狀態（抽中目標咭牌）數量係 K=8。

抽咗 n=9 張咭

想計 k=0（一張目標咭牌都抽唔中）嘅機率。

呢種計算對設計咭組策略嚟講好重要，可以幫玩家預測咭組運行起上嚟有幾穩定。

睇睇

• 抽樣
• 多項分佈
• 幾何分佈
• 二項分佈